Bilangan-bilangan di bawah nol seperti,
-1,-2,-3,-4,-5,.... disebut bilangan bulat negatif
sedangkan bilangan-bilangan di atas nol
seperti,
1,2,3,4,5,.... disebut bilangan bulat positif
Himpunan bilangan bulat positif, nol dan
bilangan bulat negatif membentuk himpunan bilangan bulat. Nol () adalah
bilangan yang tidak positif dan tidak pula negatif.
Bilangan bulat adalah .....,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4......
Pada garis bilangan dengan arah
mendatar, bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai berikut,
Bilangan bulat negatif terletak di
sebelah kiri nol, dan bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan nol.
Pada garis bilangan tersebut, makin ke kanan letak bilangan makin besar
nilai bilangan tersebut. Sebaliknya, makin ke kiri letak bilangan makin kecil
nilai bilangan tersebut.
Terdapat beberapa operasi hitung pada
bilangan bilangan bulat, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian
dan perpangkatan bilangan bulat.
B.
Operasi pada Bilangan Bulat
1.
Penjumlahan Bilangan Bulat
Garis bilangan dapat dipakai sebagai alat bantu untuk
penjumlahan bilangan bulat. Pada garis bilangan tersebut, bilangan-bilanga yang
dijumlahkan, digambarkan oleh ruas garis berarah yang panjang dan arahnya
sesuai dengan bilangan-bilangan tersebut. Arah ruas garis ke kanan untuk
bilangan bulat positif, sedangkan arah ruas garis ke kiri untuk bilanga bulat
negatif.
2.
Lawan Bilangan atau Invers Jumlah Bilangan
Sebelumnya telah dijelaskan bahwa bilangan bulat
terdiri atas bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Setiap
bilangan positif memiliki pasangan atau lawan suatu bilangan negatif. Kedua
bilangan itu disebut saling berlawanan.
Perhatikan garis bilangan berikut!
Dari gambar iketahui bahwa invers jumlah dari 1 adalah
-1, invers jumlah dari 2 adalah -2, invers jumlah dari 3 adalah -3, invers
jumlah dari 4 adalah -4, dan seterusnya.
3.
Pengurangan
Bilangan Bulat
Pengurangan
bilangan bulat dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangnya atau
pengurangan bilangan bulat sama denga penjumlahan bilangan itu dengan invers
jumlahnya. Secara sistematis dapat ditulis sebagai berikut:
Untuk setiap bilangan bulat a dan b
a-b = a + (-b)
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh
di bawah ini dan cobalah untuk membandingkannya.
4.
Perkalian Bilangan Bulat dan Sifat-Sifatnya
a. Arti Perkalian
Kita ketahui bersama bahwa operasi
perkalian bilangan bulat adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan
yang sama, contoh
Meskipun hasilnya sama, perkalian 5 x 4
dan 4 x 5 berbeda artinya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut,
Sedangkan Pembagian Bilangan Bulat
dinyatakan sebagai operasi kebalikan dari operasi perkalian bilangan bulat.
Perhatikan contoh berikut ini,
Dari uraian di atas, tampak bahwa
permbagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum
dapat ditulis sebagai berikut,
maka berlaku p : q = r <=> p = q × r
1)
Sifat tertutup
Perhatikan tabel perkalian berikut!
a
|
b
|
axb
|
-3
|
8
|
-24
|
2
|
3
|
6
|
5
|
-7
|
-35
|
a . b = cDari
tabel tersebut dinyatakan bahwa perkalian bilangan bulat memenuhi sifat tertutup.
Dengan a,b
dan c bilangan bulat.
2)
Sifat komutatif
Perhatikan tabel!
a
|
b
|
a x b
|
b x a
|
-3
|
5
|
-15
|
-15
|
-5
|
-1
|
5
|
5
|
6
|
4
|
24
|
24
|
Dari
tabel tersebut dapat ditulis bahwa
a . b = b . a
Untuk setiap bilangan bulat a dan
b. Memenuhi sifat komutatif.
Perhatikan tabel!
a
|
b
|
c
|
axb
|
bxc
|
(axb)xc
|
Ax(bxc)
|
-2
|
6
|
2
|
-12
|
12
|
-24
|
-24
|
5
|
-2
|
-7
|
-10
|
14
|
70
|
70
|
-4
|
3
|
-6
|
-12
|
-18
|
72
|
72
|
Menunjukkan perkalian tiga bilangan bulat, dapat dituliskan:
(a . b) . c = a . (b . c)
Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c.
Dengan kata
lain perkalian bilangan bulat memenuhi sifat
asosiatif.
4)
Sifat distributif
Perhatikan tabel!
a
|
b
|
c
|
B+c
|
axb
|
axc
|
ax(b+c)
|
(axb) +(axc)
|
1
|
-4
|
6
|
2
|
-4
|
6
|
2
|
2
|
4
|
-3
|
2
|
-1
|
-12
|
8
|
-4
|
-4
|
2
|
-2
|
-7
|
-9
|
-4
|
-14
|
-18
|
-18
|
a . ( b + c) = (a . b) + (a . c)
Menunjukkan perkalian tiga bilangan bulat, dapat dituliskan:
Menunjukkan perkalian tiga bilangan bulat, dapat dituliskan:
Dengan kata
lain perkalian bilangan bulat memenuhi sifat
distributif.
5. Pembagian Bilangan Bulat dan
Sifat-Sifatnya
Perhatikan pembagian berikut!
12
: 2
Bentuk 12 : 2 artinya sama dengan:
‘bilangan berapa yang jika dikalikan 2 sama dengan 12.
Jawabannya adalah 6.
Jadi, 12 : 2 = 6, artinya sama dengan
2 x 6 = 12 dan dapat ditulis sebagai berikut.
12
: 2 = 6
2
x 6 = 12
Dapat disimpulkan bahwa pembagian
adalah kebalikan dari perkalian.
6.
Perpangkatan dan Akar Bilangan
Bulat
a)
Pangkat suatu bilangan adalah perkalian suatu bilangan
dengan bilangan itu sendiri.
1) Pangkat bilangan positif
a2 = a x a (a2 dibaca a pangkat 2)
a3 = a x a x a (a3 dibaca a pangkat 3)
an = a x a x a x …. X (sebanyak n
faktor)
Contoh
: -52 = 5
x 5 = 25
- 32 = 3 x 3 = 9
- (63 ) = (-6) x (-6) x (-6) = -216
2) Pangkat bilangan negatif dan nol
Untuk
sembarang bilangan bulat a berlaku :
a-n = (1/a)n , a ≠ 0.
Contoh
: (a) 23 = (1/2)3 = 1/8
(b) 53 = (1/5)3 = 1/125
a0 = 1, a ≠ 0.
Contoh
: (a) 50 = 1
(b) 30 = 1
Sifat
– sifat operasi pangkat pada bilangan bulat :
- am x an = am + n
- am : an = am - n
- am + bm = (ab)m
- am + bm = (a/b)m
- (am)n = amn
- a0 = 1
b)
Akar suatu bilangan bulat
1)
Akar kuadrat suatu bilangan
Contoh
: ( a) √9 = 3, sebab 32 = 9
(b) 3√8
= 2, sebab 23 = 8
2)
Menghitung akar kuadrat suatu bilangan
(1).
Akar kuadrat suatu bilangan dapat dihitung dengan pohon faktor
(2).
Menghitung akar pangkat tiga suatu bilangan
(3).
Menarik akar dengan perkiraan
C. Bilangan Pecahan
1. Pengertian
Pecahan
Bilangan pecahan
adalah bilangan yang berbentuk a : b,
dengan a,
b bilangan bulat dan b ≠ 0, dan b bukan
pembagi a
a disebut
pembilang dan b disebut penyebut.
Contoh: Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3
orang anaknya. Berapa bagian yangdidapatkan oleh setiap anaknya ?
Jawab: masing-masing
anaknya memperoleh 32 bagian.
2.
Bentuk dan Jenis Pecahan
a) Pecahan
biasa
b) Pecahan
campuran
contoh:
contoh:
c) Pecahan
desimal
contoh:
e) Permil (perseribu)
contoh: 20 ‰ = 20 / 1000
f) Pecahan
senilai
contoh: 4/8 = 2/4 = 6/12
D.
Menentukan Letak Pecahan pada Garis Bilangan
E.
Operasi Hitung pada Pecahan
1.
Penjumlahan dan Pengurangan pada Pecahan
contoh:
2.
Penjumlahan dan
Pengurangan Pecahan Desimal
Cara mengubah pecahan desimal ke
pecahan biasa atau sebaliknya, telah kamu pelajari di Kelas V. Materi tersebut
akan mempermudah kamu dalam mempelajari penjumlahan dan pengurangan pada
pecahan desimal.
Contoh: 0,27 – 0,13 = ....
Jawab: untuk menjumlahkan atau
mengurangkan pecahan desimal dapat digunakan 2 cara.
Cara 1:
0,27 – 0,13
= 27/100 - 13/100 ubah
kebentuk pecahan biasa
= 14/100
= 0,14
Cara 2:
Menggunakan cara bersusun.
0,27
0,13 - letak koma harus lurus
0,14
0,13 - letak koma harus lurus
0,14
3.
Perkalian dan Pembagian
pada Pecahan Biasa dan Campuran
Untuk perkalian pada pecahan,
kalikanlah pembilang dengan pembilang serta penyebut dengan penyebut.Adapun
untuk pembagian pecahan ubahlah tanda " : " menjadi
"×", kemudian kalikan dengan kebalikan dari bilangan pembaginya.
4. Perkalian dan Pembagian Pecahan Desimal
Untuk mengalikan pecahan desimal
dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu mengubah ke bentuk pecahan biasa dan
dengan cara bersusun.
