PAKET LENGKAP_ALJABAR dan ARITMATIKA SOSIAL

Tugas Media Pembelajaran Matematika

Nama Kelompok: Nurul Husna Lubis (1102030213)

                            Juriah Ardiah Daulay (1102030196)

A.     Bentuk Aljabar

1.       Pengertian Bentuk Aljabar

Perhatikan bentuk berikut:       2x² + 4x

Pada bentuk tersebut x mewakili sebarang bilangan yang belum diketahui dan disebut variabel atau peubah. Adapun bilangan 2 dan 4 dinamakan konstanta atau tetapan. Bentuk-bentuk yang mempunyai variabel seperti bentuk tersebut dinamakan bentuk aljabar. Berikut contoh lain dari bentuk aljabar.

·         x + 1

·         (p – 2) ( p + 3)

·         Ab – 3a + 7b – 5

·         X² + 6x + 9

2.       Suku, Koefisien, Faktor, dan Suku-Suku Sejenis

a.    Suku bentuk aljabar

Perhatikan bentuk aljabar berikut!

·         2x²y² + 5xy + 3

Pada bentuk 2x²y² , 5xy , dan -3 disebut suku pada bentuk aljabar. Bentuk aljabar tersebut mempunyai 3 suku dan dinamakan bentuk aljabar suku tiga.

·         x⁵ + 3x³ – 8x² + 4x + 9

Suku-suku bentuk aljabar tersebut adalah x⁵ , 3x³ , -8x² , 4x , dan 9. Bentuk aljabarnya disebut bentuk aljabar suku lima.

b.    Kefisien

Perhatikan bilangan-bilangan didepan variabel pada bentuk aljabar berikut!

                                    2x² – 6xy + 9y² – 3

Bilangan-bilangan 2, -6 dan 9 berturut-turut disebut koefisien dari variabel pada bentuk aljabar tersebut.

c.    Faktor

Setiap bilangan dapat dinyatakan sebagai hasil kali dua bilangan atau lebih. Bilanga demikian disebut faktor. Misalkan, bilangan 6 dapat dinyatakan dalam bentuk:

                                    6 = 6 x 1 dan 6 = 3 x 2

Bilangan-bilangan 1,2,3, dan 6 disebut faktor-faktor dari 6.

Sekarang perhatikan bentuk aljabar berikut!

                                    -3xy dan 6x³ – 9x²

Bentuk aljabar -3xy dapat dinyatakan sebagai berikut.

                                    -3xy = (-3) • x • y

Jadi, faktor-faktor dari -3xy adalah -3, x , dan y.

Bentuk aljabar 6x³ – 9x² dapat dinyatakan sebagai berikut.

                                    6x³ – 9x² = 3 • 2 • x³ – 3 • 3 • x² = 3 • x² • (2x – 3)

Dengan demikian, faktor dari 6x³ – 9x² adalah 3, x², dan (2x – 3).

d.   Suku-suku sejenis

Perhatikan bentuk aljabar berikut!

2x² – 3y + 4x² – 5y – 6y² + 3

Pada bentuk aljabar tersebut, suku 2x² dan suku 4x² memiliki variabel yang sama dengan pangkat yang sama, yaitu x². Suku-suku demikian dinamakan suku sejenis. Begitu juga dengan suku – 3y dan – 5y merupakan suku sejenis.

3.       Operasi Hitung Pada Aljabar

a.    Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan oleh suku sejenis misalnya:
Penjumlahan
x² + 5x + 6 + x² - 6x + 9  = (x² + x²) + (5x - 6x) + (6 + 9) = 2x² + (-1x) + 15

Pengurangan
x² - 81 – 9x² - 16  = 8x² - 65

b.    Perkalian bentuk aljabar

ü Perkalian suatu bilangan dengan suku dua

p(x + y) = px + py, untuk p, x dan y bilangan real

dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, berlaku

        p(x – y) = px – py

ü Perkalian suku dua dengan suku dua

Dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, diperoleh:

        (x + y) (a + b)               =  (x + y) a + (x + y) b

                                            = ax + ay + bx + by

                                            = ax + bx + ay + by

Dari uraian tersebut dapat ditulis:

                    (x + y) (a + b)   = ax + bx + ay + by

                    Untuk a, b, x, dan y bilangan real

Dengan cara yang sama berlaku pula:

                    (x + y) (a - b)   = ax – by + ay – by

c.     Pembagian bentuk aljabar

Contoh: tentukan hasil pembagian bentuk aljabar berikut!

                                    (8x²y – 4y) : 2y²

Jawab: (8x²y – 4y) : 2y²  = 8x²y – 4y / : 2y²  

                                       =  2 . 2 . y (2x² – 1) / 2 . y . y

                                       =  4x² - 2 / y

Jadi, (8x²y – 4y) : 2y² = 4x² - 2 / y

d.    Menentukan KPK dan FPB bentuk Aljabar

Coba kalian ingat kembali cara menentukan KPK dan FPB dari dua atau lebih bilangan bulat. Hal itu juga berlaku pada bentuk aljabar. Untuk menentukan KPK dan FPB dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan menyatakan bentuk-bentuk aljabar tersebut menjadi perkalian faktor-faktor primanya. Perhatikan contoh berikut:

4.   Pecahan Bentuk Aljabar

          a.      Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dikatakan paling sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan kecuali 1, dan penyebutnya tidak sama dengan nol. Untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan tersebut dengan FPB dari keduanya.

Contoh: sederhanakan pecahan 2p + 4q / 2p

Jawab: 2p + 4q / 2p = 2 . (p + 2q) / 2 . p

                              = p + 2q / p

                             = 1 + 2q / p

Perhatikan, faktor persekutuan dari  2p + 4q adalah 2.

Jadi, bentuk sederhana dari  2p + 4q / 2p adalah 1 + 2q / p

b.    Operasi Hitung Pecahan Aljabar dengan Penyebut Suku Tunggal

1)        Penjumlahan dan pengurangan

Sebelumnya, telah dijelaskan bahwa hasil operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan diperoleh dengan cara menyamakan penyebutnya, kemudian menjumlahkan atau mengurangkan pembilangnya. Kalian pasti juga masih ingat bahwa untuk menyamakan penyebut kedua pecahan, tentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. Dengan cara yang sama, hal itu juga berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar. Perhatikan contoh berikut:

           contoh pengurangan: a / 2p - a² / p² = ap – 2a² / 2p²

          2)     Perkalian dan pembagian

       Perkalian pecahan aljabar tidak jauh berbeda dengan perkalian bilangan pecahan. Perhatikan contoh berikut: 

      3)     Perpangkatan pecahan bentuk aljabar

      Operasi perpangkatan merupakan perkalian berulang dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan pecahan bentuk aljabar. Perhatikan contoh berikut:

   

    B.     ARITMATIKA SOSIAL

1.       Harga pembelian, harga penjualan, untung, dan rugi

Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita menjumpai atau melakukan kegiatan jual beli atau perdagangan. Dalam perdagangan terdapat penjual dan pembeli. Jika kita ingin memperoleh barang yang kita inginkan maka kita harus melakukan pertukaran untuk mendapatkannya. Misalnya penjual menyerahkan barang kepada pembeli sebagai gantinya pembeli menyerahkan uang sebagai penganti barang kepada penjual. Seorang pedagang membeli barang dari pabrik untuk dijual lagi dipasar. Harga barang dari pabrik disebut modal atau harga pembelian sedangkan harga dari hasil penjualan barang disebut harga penjualan. Dalam perdagangan sering terjadi dua kemungkinan yaitu pedagan mendapat untung dan rugi.

a.    Untung
Untuk memahami pengertian untung perhatikan contoh berikut:
Pak Umar membeli sebidang tanah dengan harga Rp 10.000.000,- kemudian karena ada suatu leperluan pak Umar menjual kembali sawah tersebut dengan harga Rp 11.500.000,-. Ternyata harga penjualan lebih besar dibanding harga pembelian, berarti pak Umar mendapat untung.

Selisih harga penjualan dengan harga pembelian
=Rp 11.500.000,- – Rp 10.000.000,-
=Rp 1.500.000,-
Jadi pak Umar mendapatkan untung sebesar Rp 1.500.000,-
Berdasarkan contoh diatas, maka dapat ditarik kesimpulan:
Penjual dikatakan untung jika jika harga penjualan lebih besar dibanding dengan harga pembelian.
                        Untung = harga jual – harga beli

b.    Rugi
Ruri membeli radio bekas dengan harga Rp 150.000,- radio itu diperbaiki dan menghabiskan biaya Rp 30.000,- kemudian Ruri menjual radio itu dan terjual dengan harga Rp 160.000,-
Modal (harga pembelian) = Rp 150.000,- + Rp 30.000,-
= Rp !80.000,-
Harga penjualan = Rp 160.000,-
Ternyata harga jual lebih rendah dari pada harga harga pembelian, jadi Ruri mengalami rugi.
Selisih harga pembelian dan harga penjualan:
=Rp 180.000,- – Rp 160.000,-
=RP 20.000,-
Berdasarkan uraian diatas penjual dikatakan rugi jika harga penjualan lebih rendah dibanding harga pembelian.
                        Rugi = harga beli – harga jual

c.    Harga pembelian dan harga penjualan
Telah dikemukakan bahwa besar keuntungan atau kerugian dapat dihitung jika harga penjualan dan harga pembelian telah diketahui.
Besar keuntungan dirumuskan:
                        Untung =harga jual – harga beli
Maka dapat diturunkan dua rumus yaitu:
                        1. Harga jual = harga beli + Untung
                        2. Harga beli = harga jual – harga untung
Besar kerugian dirumuskan:
                        Rugi = harga beli – harga jual
Maka dapat diturunkan rumus:
                        1. Harga beli = harga jual + Rugi
                        2. Harga jual = harga beli – Rugi

d.     Persentase untung dan rugi

Pada persentase untung berarti untung dibanding dengan harga pembelian, dan persentase rugi berarti rugi dibanding harga pembelian.

U% = U / B X 100% = J - B / B X 100%

R% = R / B X 100% = B - J / B X 100%

Contoh:
a) Seorang bapak membeli sebuah mobil seharga Rp 50.000.000, karena sudah bosan dengan mobil tersebut maka mobil tersebut dijual dengan harga Rp 45.000.000,.Tentukan persentase kerugiannya!
Jawab: Harga beli Rp 50.000.000
               Harga jual Rp 45.000.000
               Rugi = Rp 50.000.000 – Rp 45.000.000
                        = Rp 5.000.000
                Rp 5.000.000
                Rp 50.000.000
                = Rp 10 %
               Jadi besar persentase kerugiannya adalah 10 %.
b) Seorang pedagang membeli gula 5 kg dengan harga Rp 35.000, kemudian dijual dengan harga Rp 45.000, Berapakah besar persentase keuntungan pedagang tersebut?
Jawab: Harga beli Rp 35.000,
               Harga jual Rp 45.000,
               Untung = Rp 45.000 – Rp 35.000
                               = Rp 10.000

               Rp 10.000
               Rp 35.000
               = 28,7 %
             Jadi persentase keuntungan adalah 28,7

2.       Menentukan harga pembelian atau harga penjualan berdasarkan   persentase untung atau rugi

Contoh:
Seorang pedagang membeli ikan seharga Rp 50.000 / ekor. Jika pedagang tersebut menghendaki untung 20% berapa rupiahkah ikan tersebut harus dijual?
Jawab: Harga beli Rp 50.000
           Untung 20 % dari harga beli = Rp 10.000
           Harga jual    = harga beli + untung
                              =Rp 50.000 +Rp 10.000
                              =Rp 60.000
         Jadi pedagang itu harus menjual dengan harga Rp 60.000

a.    Rabat(diskon), bruto, tara, dan neto

1)        Rabat

Rabat adalah potongan harga atau lebih dikenal dengan diskon.
Contoh:
Sebuah toko memberikan diskon 15 %, budi membeli sebuah rice cooker dengan harga Rp420.000. berapakah harga yang harus dibayar budi?
Jawab:
Harga sebelum diskon = Rp 420.000
Potongan harga = 15 % x Rp 420.000 = Rp 63.000
Harga setelah diskon = Rp 420.000 – Rp 63.000 = Rp 375. 000
Jadi budi harus membayar Rp 375.000
Berdasarkan contoh diatas dapat diperoleh rumus:

Harga bersih = harga kotor – Rabat (diskon)

Harga kotor adalah harga sebelum didiskon
Harga bersih adalah harga setelah didiskon

1)        Bruto, Tara, dan Neto

Dalam sebuah karung yang berisi pupuk tertera tulisan berat bersih 50 kg sedangkan berat kotor 0,08 kg, maka berat seluruhnya = 50kg + 0,08kg=50,8kg. Berat karung dan pupuk yaitu 50,8 kg disebut bruto(berat kotor). Berat karung 0,08 kg disebut disebut tara. Berat pupuk 50 kg disebut berat neto ( berat bersih)

Jadi hubungan bruto, tara, dan neto adalah:
v Neto = Bruto – T ara
Jika diketahui persen tara dan bruto maka untuk mencari tara digunakan rumus:
v Tara = Persaen Tara x Bruto
Untuk setiap pembelian yang mendapat potongan berat(tara) dapat dirumuskan:
v Harga bersih = neto x harga persatuan berat

3.  Bunga tabungan dan pajak

a.  Bunga tabungan (Bunga Tunggal)

jika kita menyimpan uang dibank jumlah uang kita akan bertambah, hal itu terjadi karena kita mendapatkan bunga dari bank. Jenis bunga tabungan yang akan kita pelajari adalah bunga tunggal, artinya yang mendapat bunga hanya modalnya saja, sedangkan bunganya tidak akan berbunga lagi. Apabila bunganya turut berbunga maka jenis bunga tersebut disebut bunga majemuk.

Contoh:
Rio menabung dibank sebesar Rp 75.000 dengan bunga 12% per tahun. Hitung jumlah uang rio setelah enam bulan.
Jawab:
Besar modal (uang tabungan) = Rp 75.000
Bunga 1 tahun 12 % = 9000
Bunga 6 bulan = Rp 4500
Jadi jumlah uang Rio setelah disimpan selama enam bulan menjadi:
= Rp 75.000 + Rp 4500
= Rp 79.500
Dari contoh tersebut dapat disimpulkan
Bunga 1 tahun = persen bunga x modal
Bunga n bulan = x persen bunga x modal
                       = x bunga 1 tahun
Persen bunga selalu dinyatakan untuk 1 tahun, kecuali jira ada ketersngan lain pada soal.

a.       Pajak

Pajak adalah statu kewajiban dari masyarakat untuk menterahkan sebagian kekayaannya pada negara menurut peraturan yan di tetapkan oleh negara. Pegawai tetap maupun swasta negeri dikenakan pajak dari penghasilan kena pajak yang disebut pajak penghasilan (PPh). Sedangkan barang atau belanjaan dari pabrik, dealer, grosor, atau toko maka harga barangnya dikenakan pajak yang disebut pajak pertambahan nilai (PPN).

Contoh:
Seorang ibu mendapat gaji sebulan sebesar Rp 1.000.000 dengan penghasilan tidak kena pajak Rp 400.000. jira besar pajak penghasilan (PPh) adalah 10 % berapakah gaji yang diterima ibu tersebut?
Jawab:
Diketahui: Pesar penghasilan Rp 1.000.000
Penghasilan tidak kena pajak Rp 400.000
Pengahasilan kena pajak = Rp 1.000.000 – Rp 400.000
                                      = Rp 600.000
Pajak penghasilan 10 %
Ditanya: gaji yang diterima ibu tersebut
Jawab:
Besar pajak penghasilan = 10 % x Rp 600.000
                                      = Rp 60.000
Jadi besar gaji yang diterima ibu tersebut adalah
= Rp 1.000.000 – Rp 60.000
= Rp 940.000